作業10

１本週(5/17)有來上課

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請思考速度與加速度的問題，當一桿以某特定點Ｍ等角速度迴轉時，其端點Ｐ之速度方向如何？

其加速度方向如何？若該特定點Ｍ復以等速水平運動，則同一端點Ｐ之速度與加速度方向會變為如何？

若Ｍ點同時也有加速度，則點Ｐ會有何變化？

若以此推理四連桿的運動，則點Ｐ與Ｑ之速度與加速度方向會與桿一（固定桿）之兩端點之關係如何？

與我們前面的作業分析結果有無共通之處？（參看第六章之四連桿機構之運動分析）




當一桿以Ｍ點作等角速度ω迴轉時，其速度大小為ωｒ(r為桿長)，
方向為切線方向，即為與連桿垂直方向，如圖






















　　加速度方向分為切線方向及法線方向，因為其角加速度為０，故其切線方向加速度為０，
因此僅剩法線加速度，方向指向軸心Ｍ，大小(ω^２)ｒ























　　若M為等速水平運動，則必須再加上VM，所以VP=VM+ωｘｒ，方向則為其向量合，
加速度方面則不受影響，AP= ωｘ(ωxｒ)



　　若Ｍ點同時也有加速度，則計算Ｐ點加速度時則必須考慮Ｍ點之加速度，AP=AM＋ωｘ(ωxｒ)



　　固定桿兩端分別為Ｏ點和Ｒ點，此兩點由於接地，其速度與加速度皆為０，
此時我們若以第二桿為驅動桿，則計算Ｐ點速度只需要考慮桿本身的角速度和角加速度，
VP=ωop ｘ Rp/o　　方向與桿２垂直

AP=αx Rp/o＋ωop ｘ (ωop x Rp/o)　切線加速度與桿２垂直，法線加速度則沿桿２指向Ｏ點




再來我們計算Q點的速度與加速度，這時候則必須要考慮到Ｐ點之速度，
Vq=Vp+ωpq ｘ Rq/p =ωq r ｘ Rq/r　　方向與桿４垂直

Aq= Ap＋αx Rq/p＋ωpq ｘ (ωpq x Rq/p) =αx Rq/r+ωqr ｘ (ωqr x Rq/r)　
切線加速度與桿４垂直，法線加速度則沿桿４指向Ｏ點




　其中上兩式等號最右邊為利用第四桿的角速度與角加速度來計算的，因為Ｒ點為固定點，
所以不用考慮Ｒ點本身速度及加速度



















　　之前的作業我們是先計算出Ｐ點及Ｑ點之向量之後，再利用對ｔ微分分別求出速度與加速度，進而求出各點的角速度與角加速度，雖然和上述方法略有不同，但是仔細推敲後可以發現，
在計算Ｐ點和Ｑ點向量時，例如Rq=Rop+Rpq，
就已經將相對速度和相對加速度的概念加進去了，
故這兩種方式其實是相似的




3
設有一運動之曲柄滑塊連桿組合，設滑塊之偏置量為零，且在水平方向移動，
試以此機構之曲桿長度及角度，以及連結桿之長度為輸入項，
利用matlab寫出一程式計算在不同曲柄角度時，六點瞬心之對應位置。
可順便探討六點瞬心與曲柄角間之關係。


以之前繪製滑塊之程式
function [values]=drawsldlinks(r,th1,th2,sigma,driver)修改如下:

function [values]=drawsldlinkscentros(R1,R2,th2,sigma,driver)
%function drawsldlinkscentros(R1,R2,th2,sigma,driver)
%畫出滑塊連桿的位置以及瞬心之位置
%呼叫 sldlink funcion
%R1:曲桿長度
%R2:連結桿長度
%th2:驅動桿與地面之夾角
%sigma:結合形式
%driver: 0 第二桿驅動, 1 連結桿驅動

clf;

r=[10,R1,R2,0]
%接地桿因為經計算後會改變，故先隨便設一個數字
%曲桿長=R1 連結桿=R2
%偏置量為0

th1=0;
%地面水平角設為0

[values b]=sldlink(r,th1,th2,10,0,sigma,driver);
rr=values(:,1);rr(3)=rr(3)+rr(2);
rx=real(rr);rx(4)=0;
ry=imag(rr);ry(4)=0;
%呼叫sldlink並儲存其計算後之值

t=linspace(pi/2,2.5*pi,361);

C1=0.2*exp(j*t');
x1=real(C1);
y1=imag(C1);
line(x1,y1,'LineWidth',2);

C2=0.4*exp(j*t');
x2=real(C2);
y2=imag(C2);
line(x2,y2,'LineWidth',2);
line([x2(91) x2(91)],[y2(91) y2(91)-0.5],'LineWidth',2);
line([x2(271) x2(271)],[y2(271) y2(271)-0.5],'LineWidth',2);
line([x2(91)-1.5 x2(271)+1.5],[y2(271)-0.5 y2(271)-0.5],'LineWidth',2,'linestyle',':');

hold on;
%計算並繪出驅動桿基座之圖型

if rx(1)＞0,
the2=th2;
else
the2=180-th2;
end;
the3=-values(3,2)
cen13x=rx(1);
cen13y=rx(1)*tand(the2);
cen24x=0;
cen24y=rx(1)*tand(the3);
%計算瞬心位置,參考課本5-22圖5.18

if b==1
plot([0 rx(1)],[0 0],'k-','LineWidth',4);
%繪出地面
hold on;

plot([0 rx(1)],[0 ry(1)],'g-','LineWidth',1.5);
%繪出第一桿

plot([rx(1) cen13x],[ry(1) cen13y],'k:','LineWidth',3);
%繪出滑塊與地面垂直延伸線,用來表示瞬心13在其上


plot([rx(2) cen13x],[ry(2) cen13y],'k:','LineWidth',3);
%繪出瞬心23與基座延伸線,用來表示瞬心13在其上


plot([rx(1)+1 rx(1)+1],[ry(1)+cen13y/3 cen13y*2/3],'b-','LineWidth',3);

if cen13y＞0,
plot(rx(1)+1 ,cen13y*2/3,'b^','LineWidth',3);
else
plot(rx(1)+1 ,cen13y/3,'b^','LineWidth',3);
end;
%此部分主要是為了標示出瞬心14位置是在無窮遠處所畫的箭頭


plot([0 cen24x],[0 cen24y],'k:','LineWidth',3);
%繪出基座與地面垂直延伸線,用來表示瞬心24在其上
plot([rx(2) cen24x],[ry(2) cen24y],'k:','LineWidth',3);
%繪出瞬心23與滑塊延伸線,用來表示瞬心24在其上
plot([-1 -1],[0+cen24y/3 cen24y*2/3],'b-','LineWidth',3);

if cen24y＞0,
plot(-1 ,cen24y*2/3,'b^','LineWidth',3);

else

plot(-1 ,cen24y/3,'b^','LineWidth',3);

end;
%此部分主要是為了標示出瞬心14位置是在無窮遠處所畫的箭頭
if driver==0
plot([0 rx(2)],[0 ry(2)],'b-','LineWidth',1.5);
plot([rx(2) rx(3)],[ry(2) ry(3)],'r-','LineWidth',2);

else
plot([0 rx(2)],[0 ry(2)],'r-','LineWidth',2);
plot([rx(2) rx(3)],[ry(2) ry(3)],'b-','LineWidth',1.5);
end
%繪出曲桿和連結桿
　 plot([rx(1) rx(3)],[ry(1) ry(3)],'k-');
plot(rx,ry,'bo');
plot(cen13x,cen13y,'mo');
plot(cen24x,cen24y,'mo');
%標示各點

text(0,0,' O 12');text(rx(1),ry(1),' R');
text(rx(2),ry(2),' P 23');
text(rx(3),ry(3),' Q 34');
text(cen13x,cen13y,'13');
text(cen24x,cen24y,'24');
text(rx(1)+1 ,cen13y/3-0.5,'14')
text(-1 ,cen24y/3-0.5,'14')
%標示各點名稱


length=max(abs(values(2:3,1)));

len=.20*length;ww=.15*length;

[coords] = sldbox(len,ww,rx(3),ry(3),th1);
plot(coords(:,1),coords(:,2),'r-','LineWidth',2);

[coords] = sldbox(len*3,0,rx(3),ry(3)-ww/2,th1);
plot(coords(:,1),coords(:,2),'r:','LineWidth',1.5);
%此部份是用來繪製滑塊

else
fprintf('Combination of links fails at degrees %6.1f\n',th2);
%若不能連桿連結時之情形
end

axis equal;
grid on;


瞬心為連桿組中兩連桿所存在共同點之位置，該點具有相同速度，若某一物體為固定，
則兩物體在該瞬心速度應為零


四連桿組的瞬心數目為N=4(4-1)/2=6



根據甘迺迪定理，任何三個平面連桿的運動，其間應存在三個瞬心，且三瞬心因共線，
故可利用此定理來繪出瞬心的位置圖


以下分別是th2=60,120,240,300度時的圖


th2=60























th2=120


























th2=240


























th2=300



























其中四個瞬心為基本瞬心，即為各連桿之連結點，其中由於第一桿為接地桿固定不動，
所以瞬心12恆不動。另外，由於第四桿為滑塊，所以瞬心14在無限遠處，
所以利用過該點作平行於此線的線，來與其它點配合


　而點Ｐ及點Ｑ為移動連桿的相接點，亦為瞬心23及瞬心34，
其位置會隨著連桿運動軌跡改變，但依然是在桿的相接點上


　其他瞬心以甘迺迪定理可定出，瞬心13可由12及23的連線14及34的連線交點獲得；
24則為23及34連線與12及14連線之交點獲得



上述兩點位置會隨驅動桿角度而改變，由上面四圖可看出：


0＜th2＜90→瞬心24及13皆在接地面上
90＜th2＜180→瞬心24於接地面上，13在接地面下
180＜th2＜270→瞬心24於接地面下，13在接地面上
270＜th2＜360→瞬心24及13皆在接地面下